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使用Python求解最大公约数的实现方法

1. 欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法, 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明:
a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
假设d是a, b的一个公约数, 则有 d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
因此,d是(b, a mod b)的公约数。
加上d是(b,a mod b)的公约数,则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
因此,(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

欧几里德的Python语言描述为:

def gcd(a, b):
 if a < b:
  a, b = b, a

 while b != 0:
  temp = a % b
  a = b
  b = temp

 return a

2. Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论是理论,还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位, 对于这样的整数,计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a, a) = a, 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的python实现如下:

def gcd_Stein(a, b):  
  if a < b:
    a, b = b, a
  if (0 == b):
    return a
  if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
    return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
  if a % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a / 2, b)
  if b % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a, b / 2)
  
  return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2) 

3. 一般求解实现

核心代码很简单:

def gcd(a, b):
if b == 0:return a
return gcd(b, a % b)

附上一个用Python实现求最大公约数同时判断是否是素数的一般方法:
程序如下:

#!/usr/bin/env python 
 
def showMaxFactor(num): 
  count = num / 2  
  while count > 1: 
    if num % count == 0: 
      print 'largest factor of %d is %d' % (num, count) 
      break    #break跳出时会跳出下面的else语句 
    count -= 1 
  else: 
    print num, "is prime" 
 
for eachNum in range(10,21): 
  showMaxFactor(eachNum) 

输出如下:

largest factor of 10 is 5
11 is prime
largest factor of 12 is 6
13 is prime
largest factor of 14 is 7
largest factor of 15 is 5
largest factor of 16 is 8
17 is prime
largest factor of 18 is 9
19 is prime
largest factor of 20 is 10

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